Question

4．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示：
（1）求函数f（x）的解析式；
（3）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A）=1，a=$\sqrt{3}$，b=1，求△ABC的面积S．

Answer 1

分析 （1）由图象求出A、T，利用周期公式求出ω，把点$（\frac{π}{6}，2）$代入解析式列出方程，结合条件求出φ的值；
（2）根据（1）化简f（A）=1，根据A的范围和特殊角的正弦值求出A，结合条件和正弦定理求出B，由内角和定理求出C，即可求出三角形的面积．

解答 解：（1）由图象可知A=2，﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍（1分），
$\frac{T}{4}=\frac{5}{12}π-\frac{π}{6}=\frac{π}{4}$，∴$T=π，即ω=\frac{2π}{π}=2$    ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍（3分）
又∵函数图象过$（\frac{π}{6}，2）$，
∴$2×\frac{π}{6}+φ=\frac{π}{2}+2kπ（k∈Z），且|φ|＜\frac{π}{2}∴k=0，φ=\frac{π}{6}$，
∴$f（x）=2sin（{2x+\frac{π}{6}}）$﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍（6分）
（2）∵$f（A）=2sin（{2A+\frac{π}{6}}）=1$，∴$sin（{2A+\frac{π}{6}}）=\frac{1}{2}$，
∵0＜A＜π，∴$\frac{π}{6}＜2A+\frac{π}{6}＜\frac{13π}{6}，即2A+\frac{π}{6}=\frac{5π}{6}$，
∴$A=\frac{π}{3}$﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍（8分）
在△ABC中，由正弦定理$\frac{b}{sinB}=\frac{a}{sinA}，即\frac{1}{sinB}=\frac{{\sqrt{3}}}{{sin\frac{π}{3}}}$，
解得$sinB=\frac{1}{2}，又∵b＜a，B=\frac{π}{6}$，
∴$C=π-A-B=\frac{π}{2}$﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍（11分）
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$         ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍（12分）

点评 本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象利用待定系数法求其解析式，以及正弦定理的应用，注意内角的范围和边角关系，属于中档题．