题目内容
已知直线y=ax+1与双曲线3x2-y2=1交于A、B两点，（1）若以AB为直径的圆过坐标原点，求实数a的值；（2）是否存在这样的实数a,使A、B两点关于直线y=
x对称？若存在，求出a的值;若不存在，请说明理由.
思路解析：（1）转化为OA⊥OB，即斜率之积为-1；（2）不妨假设存在，然后求值即可. 解：（1）由 依题意 设A(x1,y1)，B(x2,y2),则 ∵以AB为直径的圆过原点，∴OA⊥OB.∴x1x2+y1y2=0. 但y1·y2=a2x1x2+a(x1+x2)+1, 由(3)(4),得x1+x2= ∴(a2+1)· （2）假设存在实数a，使A、B关于y= 将a=-2代入(3),得x1+x2=4,∴AB中点横坐标为2， 纵坐标为y=-2×2+1=-3.但AB中点（2，-3）不在直线y= 方法归纳 （1）直线与双曲线的关系问题，往往采用“设而不求”的方法，结合韦达定理求解；（2）开放性问题，则经常采用假设存在，直接推证的方法.消去y,得(3-a2)x2-2ax-2=0. (1)
即-
＜a＜
且a≠±
. (2)
,x1x2=
,
+a·
+1=0.解得a=±1且满足(2).
x对称，则直线y=ax+1与y=
x垂直，∴a=-2.直线l的方程为y=-2x+1.
x上，即不存在实数a使A、B关于直线y=
x对称.
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对称？说明理由。
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