Question

设函数，记的导函数，的导函数
，
的导函数，…，的导函数，.
（1）求；
（2）用n表示；
（3）设，是否存在使最大？证明你的结论.

Answer 1

（1）（2）（3）故当或时，取
最大值.

试题分析：⑴易得,,                          
                                       
,所以                       
⑵不失一般性，设函数的导函数为
，其中，常数，.
对求导得：  
故由得：      ①，
 ②，            ③ 
由①得： ，                                      
代入②得：，即，其中
故得：.                                        
代入③得：，即，其中.
故得：，                                
因此.
将代入得：，其中.                
（3）由（1）知，
当时，，
，故当最大时，为奇数.                 
当时，                  
又，
，
，因此数列是递减数列                
又，，                     
故当或时，取最大值.      
点评：本题是数列综合题，利用转化法把非常规数列转化成等差或等比数列来处理是关键，
属难题.