Question

设，其中为正实数．
（1）当时，求的极值点；
（2）若为上的单调函数，求的取值范围．

Answer 1

（1）x₁＝是极小值点，x₂＝是极大值点．
（2）a的取值范围为(0,1]．

试题分析：解　对f(x)求导得
f′(x)＝e^x. ①
(1)当a＝时，令f′(x)＝0，则4x²－8x＋3＝0，解得x₁＝，x₂＝.
结合①，可知

x
f′(x)	＋	0	－	0	＋
f(x)	?	极大值	?	极小值	?

所以，x₁＝是极小值点，x₂＝是极大值点．
(2)若f(x)为R上的单调函数，则f′(x)在R上不变号，
结合①与条件a＞0，知ax²－2ax＋1≥0在R上恒成立，
因此Δ＝4a²－4a＝4a(a－1)≤0，由此并结合a＞0，知0＜a≤1.所以a的取值范围为(0,1]．
点评：解决的关键是根据导数的符号判定函数单调性，以及函数极值的运用，属于中档题。