题目内容

已知矩阵A=
12
-14
，向量
a
=
7
4
．
（1）求矩阵A的特征值λ1、λ2和特征向量
α1
、
α2
；
（2）求A5
α
的值．
（1）矩阵A的特征多项式为f(λ)=
.
λ-1-2
1λ-4
.
=λ2-5λ+6，
令f（λ）=0，得λ1=2，λ2=3，
当λ1=2时，得
α1
=
2
1
，当λ2=3时，得
α2
=
1
1
．（7分）
（2）由
α
=m
α1
+n
α2
得
2m+n=7
m+n=4
，得m=3，n=1．
∴A5
α
=A5(3
α1
+
α2
)=3(A5
α1
)+A5
α2
=3(
λ51
α1
)+
λ52
α2
=3×25
2
1
+35
1
1
=
435
339
．（15分）
练习册系列答案
相关题目
已知矩阵A=
12
-14
．（1）求A特征值λ1，λ2及对应的特征向量
α1
，
α2
．（2）求A5
3
1
．
（选做题）本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．[选修4-1：几何证明选讲]
已知△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圆劣弧AC上的点（不与点A，C重合），延长BD至点E．
求证：AD的延长线平分∠CDE
B．[选修4-2：矩阵与变换]
已知矩阵A=
12
-14

（1）求A的逆矩阵A-1；
（2）求A的特征值和特征向量．
C．[选修4-4：坐标系与参数方程]
已知曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ，以极点为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为
x=
1
2
t
y=
3
2
t+1
（t为参数），求直线l被曲线C截得的线段长度．
D．[选修4-5，不等式选讲]（本小题满分10分）
设a，b，c均为正实数，求证：
1
2a
+
1
2b
+
1
2c
≥
1
b+c
+
1
c+a
+
1
a+b
．
（1）（选修4-2 矩阵与变换）已知矩阵A=
12
-14
，向量
α
=
7
4
．
①求矩阵A的特征值λ1、λ2和特征向量
α1
、
α2
；
②求A5
α
的值．
（2）选修4-4：坐标系与参数方程求极坐标系中，圆ρ=2上的点到直线ρ(cosθ+
3
sinθ)=6的距离的最小值．
（3）选修4-5；不等式选讲知x，y，z为正实数，且
1
x
+
1
y
+
1
z
=1，求x+4y+9z的最小值及取得最小值时x，y，z的值．
（2011•盐城模拟）已知矩阵A=
12
-14
，求A的特征值λ1、λ2及对应的特征向量α1、α2．
选修4-2；矩阵与变换
已知矩阵A=
.
12
-14
.
，向量a=
.
4 
7 
.

（I）求矩阵A的特征值λ1、λ2和特征向量a1、a2；
（Ⅱ）求A5α的值．

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