Question

已知矩阵A=

1 2 -1 4

．（1）求A特征值λ₁，λ₂及对应的特征向量

α1

，

α2

．（2）求A5

3 1

．

Answer 1

分析：（1）由特征值的定义f（λ）=|λE-A|=0，解方程即可．解出特征值，求对应的特征向量即求方程组的解．
（2）将

3 1

用

2 1

和

1 1

表达，由特征向量的性质即可求解．

解答：解：（1）f(λ)=

.

λ-1 -2 1 λ-4

.

=0?λ1=2，λ2=3，
当λ₁=2时，

x-2y=0 x-2y=0

?

α1

=

2 1

，当λ₂=3时，

2x-2y=0 x-y=0

?

α2

=

1 1

（2）令

3 1

=m

2 1

+n

1 1

，则

2m+n=3 m+n=1

?

m=2 n=-1

，A5

3 1

=A5(2

α1

-

α2

)=2

λ

5 1

α1

-

λ

5 2

α2

=64

2 1

-35

1 1

=

-115 -179

点评：本题考查矩阵的特征值和特征向量，及特征向量的应用．