题目内容

（1）（选修4-2 矩阵与变换）已知矩阵A=
12
-14
，向量
α
=
7
4
．
①求矩阵A的特征值λ1、λ2和特征向量
α1
、
α2
；
②求A5
α
的值．
（2）选修4-4：坐标系与参数方程求极坐标系中，圆ρ=2上的点到直线ρ(cosθ+
3
sinθ)=6的距离的最小值．
（3）选修4-5；不等式选讲知x，y，z为正实数，且
1
x
+
1
y
+
1
z
=1，求x+4y+9z的最小值及取得最小值时x，y，z的值．
分析：（1）①先求出矩阵A的特征多项式，令特征多项式等于零，求得特征值，即可求得特征向量
α1
、
α2
．
②由
α
=m
α1
+n
α2
求得m、n的值，再由A5
α
=A5(3
α1
+
α2
)=3(A5
α1
)+A5
α2
，运算求得结果．
（2）把圆、直线的极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离，再将此距离减去半径，即得所求．
（3）由柯西不等式得
x+4y+9z=[(
x
)2+(2
y
)2+(3
z
)2]•[(
1
x
)2+(
1
y
)2+(
1
z
)2]
                
，再利用基本
不等式求得它的最小值．
解答：解：（1）①矩阵A的特征多项式为f(λ)=
.
λ-1
1
-2
λ-4
.
=λ2-5λ+6，令f（λ）=0，得λ1=2，λ2=3，
当λ1=2时，得
α1
=
2
1
，当λ2=3时，得
α2
=
1
1
．…（3分）
②由
α
=m
α1
+n
α2
得
2m+n=7
m+n=4
，得m=3，n=1．
∴A5
α
=A5(3
α1
+
α2
)=3(A5
α1
)+A5
α2
=3(
λ
5
1
α1
)+
λ
5
2
α2
=3×25
2
1
+35
1
1
=
435
339
．…（7分）
（2）解：由 ρ=2即ρ2=4，则易得x2+y2=4，由ρ(cosθ+
3
sinθ)=6易得x+
3
y-6=0，
∴圆心（0，0）到直线的距离为d0=
|0+0-6|
12+(
3
)2
=3，
∵又圆的半径为2，
∴圆上的点到直线的距离的最小值为d=d0-2=3-2=1．…（7分）
（3）解：由柯西不等式得
x+4y+9z=[(
x
)2+(2
y
)2+(3
z
)2]•[(
1
x
)2+(
1
y
)2+(
1
z
)2]
                

≥
(
x
•
1
x
 +2
y
•
1
y
+3z•
1
z
)2
=36，
当且仅当x=2y=3z时等号成立，此时x=6，y=3，z=2，
所以当x=6，y=3，z=2时，x+4y+9z取得最小值36．…（7分）
点评：本题主要考查点的极坐标与直角坐标的互化，矩阵的特征值与特征向量，柯西不等式的应用，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
本题有（1）、（2）、（3）三个选择题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．
（1）．选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵A=
1a
-1b
，A的一个特征值λ=2，其对应的特征向量是α1=
2
1
．
（Ⅰ）求矩阵A；
（Ⅱ）若向量β=
7
4
，计算A2β的值．

（2）．选修4-4：坐标系与参数方程
已知椭圆C的极坐标方程为ρ2=
12
3cos2θ+4sin2θ
，点F1，F2为其左、右焦点，直线l的参数方程为
x=2+
2
2
t
y=
2
2
t
（t为参数，t∈R）．求点F1，F2到直线l的距离之和．
（3）．选修4-5：不等式选讲
已知x，y，z均为正数．求证：
x
yz
+
y
zx
+
z
xy
≥
1
x
+
1
y
+
1
z
．
【选做题】在A，B，C，D四小题中只能选做2题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤．
21-1．（选修4-2：矩阵与变换）
设M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换．
（1）求矩阵M的特征值及相应的特征向量；
（2）求逆矩阵M-1以及椭圆
x2
4
+
y2
9
=1在M-1的作用下的新曲线的方程．
21-2．（选修4-4：参数方程）
以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴．已知点P的直角坐标为（1，-5），点M的极坐标为（4，
π
2
），若直线l过点P，且倾斜角为 
π
3
，圆C以M为圆心、4为半径．
（1）求直线l关于t的参数方程和圆C的极坐标方程；
（2）试判定直线l和圆C的位置关系．

（共2小题做答，每小题7分）

1．（选修4—2   矩阵与变换）（本题满分7分）

变换是将平面上每个点的横坐标乘2，纵坐标乘4，变到点。

（1）求变换的矩阵；

（2）圆在变换的作用下变成了什么图形？

 
【选做题】在A，B，C，D四小题中只能选做2题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤．
21-1．（选修4-2：矩阵与变换）
设M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换．
（1）求矩阵M的特征值及相应的特征向量；
（2）求逆矩阵M-1以及椭圆+=1在M-1的作用下的新曲线的方程．
21-2．（选修4-4：参数方程）
以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴．已知点P的直角坐标为（1，-5），点M的极坐标为（4，），若直线l过点P，且倾斜角为 ，圆C以M为圆心、4为半径．
（1）求直线l关于t的参数方程和圆C的极坐标方程；
（2）试判定直线l和圆C的位置关系．

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