Question

选修4-2；矩阵与变换
已知矩阵A=

.

1 2 -1 4

.

，向量a=

.

4   7

.

（I）求矩阵A的特征值λ₁、λ₂和特征向量a₁、a₂；
（Ⅱ）求A⁵α的值．

Answer 1

分析：（I）根据题意给出矩阵A的特征多项式f（λ）=（λ-1）（λ-4）+2，从而解出两个特征值分别为3和2．再分别将3和2回代到二元一次方程组，即可解出相应的特征向量．
（Ⅱ）由（I）的结论得向量a=3a₁+a₂，即可算出A⁵β的值．

解答：解：（I）矩阵A的特征多项式为f（λ）=

.

λ-1   -2   1 λ-4

.

=（λ-1）（λ-4）+2
令f（λ）=0，得λ=3或λ=2
将λ₁=2代入二元一次方程组，得

(λ-1)x-2y=0 x+(λ-4)y=0

，即x-2y=0
∴矩阵A属于特征值2的特征向量a₁为

2   1

，
将λ₂=3代入二元一次方程组，得

(λ-1)x-2y=0 x+(λ-4)y=0

，即x-y=0
∴矩阵A属于特征值3的特征向量a₂为

1   1

；
（Ⅱ）由（I）知，向量α=ma₁+na₂，
则

2m+n=7 m+n=4

，解得

m=3 n=1

，
∴A⁵α=A⁵（3a₁+a₂）=3（A⁵a₁）+A⁵a₂
=3（λ₁⁵a₁）+λ₂⁵a₂
=3×2⁵

2   1

+3⁵

1   1

=

435   399

．

点评：本题给出二阶矩阵，求矩阵A的特征值和特征向量．着重考查了特征向量的定义、求法及其性质等知识，属于中档题．