题目内容
16．已知甲箱中装有3个红球、3个黑球，乙箱中装有2个红球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同．某商场举行有奖促销活动，设奖规则如下：每次分别从以上两个箱中各随机摸出2个球，共4个球．若摸出4个球都是红球，则获得一等奖；摸出的球中有3个红球，则获得二等奖；摸出的球中有2个红球，则获得三等奖；其他情况不获奖．每次摸球结束后将球放回原箱中．（1）求在1次摸奖中，获得二等奖的概率；
（2）若连续摸奖2次，求获奖次数X的分布列及数学期望E（X）．
分析 （1）设“在1次摸奖中，获得二等奖”为事件A，利用互斥事件概率计算公式能求出在1次摸奖中，获得二等奖的概率．
（2）设“在1次摸奖中，获奖”为事件B，先求出P（B），由题意可知X的所有可能取值为0，1，2．分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．
解答 解：（1）设“在1次摸奖中，获得二等奖”为事件A，
则P（A）=$\frac{{C}_{3}^{2}{C}_{2}^{1}{C}_{2}^{1}+{C}_{3}^{1}{C}_{3}^{1}{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{2}{C}_{4}^{2}}$=$\frac{7}{30}$．…（4分）
（2）设“在1次摸奖中，获奖”为事件B，
则获得一等奖的概率为${P}_{1}=\frac{{C}_{3}^{2}{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{2}{C}_{4}^{2}}$=$\frac{1}{30}$，
获得三等奖的概率为P3=$\frac{2{C}_{3}^{2}{C}_{2}^{2}+{C}_{3}^{1}{C}_{3}^{1}{C}_{2}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{6}^{2}{C}_{4}^{2}}$=$\frac{7}{15}$，
所以P（B）=$\frac{1}{30}+\frac{7}{30}+\frac{7}{15}$=$\frac{11}{15}$．…（8分）
由题意可知X的所有可能取值为0，1，2．
P（X=0）=（1-$\frac{11}{15}$）2=$\frac{16}{225}$，
P（X=1）=${C}_{2}^{1}×\frac{11}{15}×（1-\frac{11}{15}）$=$\frac{88}{225}$，
P（X=2）=（$\frac{11}{15}$）2=$\frac{121}{225}$．
所以X的分布列是
| X | 0 | 1 | 2 |
| P | $\frac{16}{225}$ | $\frac{88}{225}$ | $\frac{121}{225}$ |
点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意互斥事件概率计算公式的合理运用．
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