Question

12．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD，E为BC的中点，PC与平面PAD所成的角为arctan$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（1）求证：CD⊥PD；
（2）求异面直线AE与PD所成的角的大小（结果用反三角函数表示）；
（3）若直线PE、PB与平面PCD所成角分别为α、β，求$\frac{sinα}{sinβ}$的值．

Answer 1

分析 （1）由PA⊥平面ABCD得出PA⊥CD，又CD⊥AD得出CD⊥平面PAD，故而CD⊥PD；
（2）以A为坐标原点激励空间直角坐标系，求出$\overrightarrow{AE}$，$\overrightarrow{PD}$的坐标，计算$\overrightarrow{AE}$，$\overrightarrow{PD}$的夹角即可得出答案；
（3）求出平面PCD的法向量$\overrightarrow{n}$，则sinα=|cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{EP}$＞|，sinβ=|cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{BP}$＞|．

解答 证明：（1）∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴PA⊥CD．
∵四边形ABCD是正方形，∴CD⊥AD．
又PA?平面PAD，AD?平面PAD，PA∩AD=A，
∴CD⊥平面PAD，∵PD?平面PAD，
∴CD⊥PD．
（2）由（1）可知CD⊥平面PAD，∴∠CPD为PC与平面PAD所成的角．
∴tan∠CPD=$\frac{CD}{PD}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴PD=2$\sqrt{2}$．∴PA=$\sqrt{P{D}^{2}-A{D}^{2}}$=2．
以A为原点，以AB，AD，AP为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（0，0，0），E（2，1，0），P（0，0，2），D（0，2，0）．
∴$\overrightarrow{AE}$=（2，1，0），$\overrightarrow{PD}$=（0，2，-2）．
∴$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{PD}$=2，|$\overrightarrow{AE}$|=$\sqrt{5}$，|$\overrightarrow{PD}$|=2$\sqrt{2}$，
∴cos＜$\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{PD}$＞=$\frac{\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{PD}}{|\overrightarrow{AE}||\overrightarrow{PD}|}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．
∴异面直线AE与PD所成的角为arccos$\frac{\sqrt{10}}{10}$．
（3）∵C（2，2，0），B（2，0，0），∴$\overrightarrow{BP}$=（-2，0，2），$\overrightarrow{EP}$=（-2，-1，2），$\overrightarrow{CD}$=（-2，0，0）．
设平面PCD的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PD}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2x=0}\\{2y-2z=0}\end{array}\right.$，令z=1得$\overrightarrow{n}$=（0，1，1）．
∴$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EP}$=1，$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BP}$=2．
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{EP}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EP}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{EP}|}$=$\frac{\sqrt{2}}{6}$，cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{BP}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BP}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{BP}|}$=$\frac{1}{2}$．
∴sinα=$\frac{\sqrt{2}}{6}$，sinβ=$\frac{1}{2}$．
∴$\frac{sinα}{sinβ}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查了线面垂直的性质与判定，空间向量与空间角的计算，属于中档题．