Question

1．已知函数f（x）=x-2sinx（x$∈[0，\frac{π}{2}]$），求函数f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值和最小值即可．

解答 解：由f（x）=x-2sinx，得f′（x）=1-2cosx，
因为x$∈[0，\frac{π}{2}]$，
令f′（x）=1-2cosx=0，解得x=$\frac{π}{3}$；                                 
令f′（x）=1-2cosx＞0，解得：$\frac{π}{3}$＜x＜$\frac{π}{2}$；                             
令f′（x）=1-2cosx＜0，解得：0＜x＜$\frac{π}{3}$；                               
列表：

x	0	（0，$\frac{π}{3}$）	$\frac{π}{3}$	（$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$）	$\frac{π}{2}$
f′（x）		-	0	+
f（x）	0		极小值		$\frac{π}{2}$-2

∴当x=$\frac{π}{3}$时，函数f（x）取得极小值为f（x）_极小值=f（$\frac{π}{3}$）=$\frac{π}{3}$-$\sqrt{3}$，
又f（0）=0，f（$\frac{π}{2}$）=$\frac{π}{2}$-2，
且$\frac{π}{3}$-$\sqrt{3}$＜$\frac{π}{2}$-2＜0，所以f（$\frac{π}{3}$）＜f（$\frac{π}{2}$）＜f（0），
∴函数f（x）的最大值为0，最小值为$\frac{π}{3}$-$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．