Question

18．现有一半球形原料，若通过切削将该原料加工成一正方体工件，则所得工件体积与原料体积之比的最大值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{6}}{3π}$
• B． $\frac{\sqrt{6}}{6π}$
• C． $\frac{3\sqrt{2}}{8π}$
• D． $\frac{3\sqrt{2}}{4π}$

Answer 1

分析 设球半径为R，正方体边长为a，由题意得当正方体体积最大时：${a}^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{2}a）^{2}$=R²，由此能求出所得工件体积与原料体积之比的最大值．

解答 解：设球半径为R，正方体边长为a，
由题意得当正方体体积最大时：${a}^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{2}a）^{2}$=R²，
∴R=$\frac{\sqrt{6}}{2}a$，
∴所得工件体积与原料体积之比的最大值为：
$\frac{{a}^{3}}{\frac{1}{2}×\frac{4}{3}π{R}^{3}}$=$\frac{{a}^{3}}{\frac{1}{2}×\frac{4}{3}×（\frac{\sqrt{6}}{2}）^{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3π}$．
故选：A．

点评 本题考查两个几何体的体积之比的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．