Question

【题目】在极坐标系中，已知曲线：和曲线：，以极点为坐标原点，极轴为轴非负半轴建立平面直角坐标系.

（1）求曲线和曲线的直角坐标方程；

（2）若点是曲线上一动点，过点作线段的垂线交曲线于点，求线段长度的最小值.

Answer 1

【答案】(1)的直角坐标方程为，的直角坐标方程为.(2).

【解析】

（1）极坐标方程化为直角坐标方程可得的直角坐标方程为，的直角坐标方程为.

（2）由几何关系可得直线的参数方程为（为参数），据此可得，，结合均值不等式的结论可得当且仅当时，线段长度取得最小值为.

（1）的极坐标方程即，则其直角坐标方程为，

整理可得直角坐标方程为，

的极坐标方程化为直角坐标方程可得其直角坐标方程为.

（2）设曲线与轴异于原点的交点为，

∵，∴过点，

设直线的参数方程为（为参数），

代入可得，解得或，

可知，

代入可得，解得，

可知，

所以，

当且仅当时取等号，

所以线段长度的最小值为.