Question

【题目】已知为函数的导函数.

（1）分别判断与的奇偶性；

（2）若，求的零点个数；

（3）若对任意的，恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）为偶函数，为奇函数 ；（2）三个；（3）.

【解析】

（1）根据奇偶函数的定义对的奇偶性进行判断.（2）根据（1）求得的的奇偶性可知，只需先研究时的零点．利用的导数，研究的单调性，由此判断出在时，存在唯一解，根据函数为奇函数，得到的零点个数为个.（3）由（1）知为偶函数，要使，恒成立，只需研究时.对分成，利用函数的一阶导数，和二阶导数研究的单调性，由此求得的取值范围.

（1），

为偶函数；，

且所以为奇函数 ；

（2）由（1）知只需先研究时的零点．

记的导数为

，

令

，，

设方程两根为，

又，，，

或或

又，在减，在增 ，

，且，

在时，存在唯一解，在R上有三个零点；

（3），为偶函数，要使，恒成立，只需研究时.

①时，，在增，，在增，；

②时，令由（1）知，在减，在恒成立，存在，使得，所以不满足题意,

综上所述，.