Question

19．已知C₁：x²+y²+2kx+k²-1=0，圆C₂：x²+y²+2（k+1）y+k²+2k=0．
（1）当k=1时，判断两圆的位置关系；
（2）设两圆的交点为A，B，若∠AC₁B=60°，求两圆公共弦所在的直线方程．

Answer 1

分析 （1）求出两个圆的圆心坐标与半径，利用圆心距与比较和与 差的关系判断即可．
（2）求出公共弦所在的直线系方程，求出圆的圆心与半径，利用体积转化为圆心与直线的距离，列出方程求解即可．

解答 解：（1）当k=1时，C₁：x²+y²+2x=0，圆的圆心（-1，0），半径为：1；
圆C₂：x²+y²+4y+3=0．圆心（0，-2），半径为：1．
两个圆的圆心距为：$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$＞2．
两圆的位置关系是相离．
（2）两圆公共弦所在的直线方程：2kx-2（k+1）y-2k-1=0．
C₁：x²+y²+2kx+k²-1=0，圆心（-k，0），半径为1．
两圆的交点为A，B，若∠AC₁B=60°，可得圆C₁的圆心到直线的距离为：$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
即：$\frac{|-2{k}^{2}-2k-1|}{\sqrt{4{k}^{2}+4（k+1）^{2}}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，化简可得k²+k-1=0，解得k=$\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$．
两圆公共弦所在的直线方程为：（-1+$\sqrt{5}$）x-$\sqrt{5}$y-2+$\sqrt{5}$=0或（-1-$\sqrt{5}$）x+$\sqrt{5}$y-2-$\sqrt{5}$=0

点评 本题考查圆与圆的位置关系的应用，考查分析问题解决问题的能力．