Question

抛物线y=x²-2xsinα+1的顶点在椭圆x²+my²=1上，这样的抛物线有且只有两条，则m的取值范围是

（0，1）

．

Answer 1

分析：根据题意求出抛物线的顶点坐标，再代入椭圆的方程，即可得到cos²α=0或cos²α=

1

m

，又因为对应的sinα有2个不同的值，
所以看到cos²α=

1

m

无解，进而得到答案．

解答：解：由题意可得：抛物线y=x²-2xsinα+1的顶点坐标为：（sinα，cos²α），
因为抛物线y=x²-2xsinα+1的顶点在椭圆x²+my²=1上，
所以将顶点代入椭圆方程可得：sin²α+mcos⁴α=1，即mcos⁴α=cos²α，
解得：cos²α=0或cos²α=

1

m

，
因为这样的抛物线有且只有两条，
所以对应的sinα有2个不同的值，
所以cos²α=

1

m

无解，即0＜m＜1．
故答案为：（0，1）

点评：本题主要考查圆锥曲线的性质，以及三角函数的有关性质，此题综合性较强属于中档题．