Question

18．在△ABC中，若面积S=a²-（b-c）²，则sin$\frac{A}{2}$=$\frac{\sqrt{17}}{17}$．

Answer 1

分析 根据三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，由已知的面积利用完全平方公式化简后，利用余弦定理变形，两面积相等利用同角三角间的基本关系即可求出cosA的值，结合$\frac{A}{2}$的范围，利用二倍角公式即可得解．

解答 解：根据S=$\frac{1}{2}$bcsinA，又a²=b²+c²-2bccosA，
则S=a²-（b-c）²=a²-b²-c²+2bc=-2bccosA+2bc=$\frac{1}{2}$bcsinA，化简得：sinA=-4cosA+4①，
又sin²A+cos²A=1②，
联立①②，解得：cosA=$\frac{15}{17}$=1-2sin²$\frac{A}{2}$，
可得：sin²$\frac{A}{2}$=$\frac{1}{17}$，
所以：由$\frac{A}{2}$∈（0，$\frac{π}{2}$），可得：sin$\frac{A}{2}$=$\frac{\sqrt{17}}{17}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{17}}{17}$．

点评 此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于中档题．