Question

7．已知椭圆C的中心在原点，左焦点为F₁（-1，0），右准线方程为：x=4．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若椭圆C上点N到定点M（m，0）（0＜m＜2）的距离的最小值为1，求m的值及点N的坐标．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的性质可知c=1，准线方程x=$\frac{{a}^{2}}{c}$=4，即可求得a和c的值，由b²=a²-c²，求得b的值，代入即可求得椭圆方程；
（2）由两点间的距离公式可知$M{N^2}={（x-m）^2}+{y^2}={（x-m）^2}+3（1-\frac{x^2}{4}）=\frac{1}{4}{x^2}-2mx+{m^2}+3$，根据二次函数的图象及简单性质，分类即可求得
m的值及点N的坐标．

解答 解：（1）设椭圆的方程为：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，…（1分）
由题意得：$\left\{{\begin{array}{l}{c=1}\\{\frac{a^2}{c}=4}\end{array}}\right.$，
解得：$\left\{{\begin{array}{l}{a=2}\\{c=1}\end{array}}\right.$，…（4分）
∴b²=3，
∴椭圆的标准方程：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；…（7分）
（2）设N（x，y），则$M{N^2}={（x-m）^2}+{y^2}={（x-m）^2}+3（1-\frac{x^2}{4}）=\frac{1}{4}{x^2}-2mx+{m^2}+3$，
对称轴：x=4m，-2≤x≤2…（9分）
①当0＜4m≤2即$0＜m≤\frac{1}{2}$，x=4m时，
$M{N^2}_{min}=-3{m^2}+3=1$，
解得：${m^2}=\frac{2}{3}＞\frac{1}{4}$，不符合题意，舍去；    …（11分）
②当4m＞2，即$\frac{1}{2}＜m＜2$，x=2时，
$M{N^2}_{min}={m^2}-4m+4=1$，
解得：m=1或m=3；
∵$\frac{1}{2}＜m＜2$，
∴m=1； …（13分）
综上：m=1，N（2，0）；       …（14分）

点评 本题考查椭圆的标准方程及其简单性质，考查两点间的距离公式及二次函数图象及其性质的综合应用，考查计算能力，属于中档题．