Question

8．已知向量$\overrightarrow a$=（cos$\frac{3x}{2}$，sin$\frac{3x}{2}$），$\overrightarrow b$=（cos$\frac{x}{2}$，-sin$\frac{x}{2}$），且x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{4}$]．
（1）若x=$\frac{π}{12}$，求$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$及|$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$|的值；
（2）若f（x）=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$-|$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$|，求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）根据向量的数量积公式和两角和的余弦公式计算即可，
（2）根向量的模和三角函数的有关性质，化简f（x），再根据二次函数和余弦函数的性质即可求出．

解答 解：（1）当$x=\frac{π}{12}$时，$\overrightarrow a•\overrightarrow b=cos\frac{3x}{2}cos\frac{x}{2}-sin\frac{3x}{2}sin\frac{x}{2}=cos2x=cos\frac{π}{6}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
∵$\overrightarrow a+\overrightarrow b=（cos\frac{3x}{2}+cos\frac{x}{2}，sin\frac{3x}{2}-sin\frac{x}{2}）$，
∴$|\overrightarrow a+\overrightarrow b|=\sqrt{{{（cos\frac{3x}{2}+cos\frac{x}{2}）}^2}+{{（sin\frac{3x}{2}-sin\frac{x}{2}）}^2}}=\sqrt{2+2cos2x}=\sqrt{2+\sqrt{3}}$
（2）∵$x∈[-\frac{π}{3}，\frac{π}{4}]$，∴$\frac{1}{2}≤cosx≤1$，
∴$|\overrightarrow a+\overrightarrow b|=\sqrt{{{（cos\frac{3x}{2}+cos\frac{x}{2}）}^2}+{{（sin\frac{3x}{2}-sin\frac{x}{2}）}^2}}=\sqrt{2+2cos2x}=\sqrt{4{{cos}^2}x}=2cosx$
所以$f（x）=cos2x-2cosx=2{cos^2}x-2cosx-1=2{（cosx-\frac{1}{2}）^2}-\frac{3}{2}$
∵$x∈[-\frac{π}{3}，\frac{π}{4}]$，∴$\frac{1}{2}≤cosx≤1$，
∴当$cosx=\frac{1}{2}$时，f（x）取得最小值$-\frac{3}{2}$，当cosx=1时，f（x）取得最大值-1．

点评 本题考查了向量数量积的运算和向量的模以及三角函数的有关公式，属于中档题．