Question

3．已知几何体E-ABCD如图所示，其中四边形ABCD为矩形，AB=2，AD=$\sqrt{3}$，△ABE为等边三角形，平面ABCD⊥平面ABE，点F为棱BE的中点，
（1）求证：BE⊥平面AFD； 
（2）求四面体D-AFC的体积．

Answer 1

分析 （1）由面面垂直的性质证明DA⊥BE，由正三角形的性质证明AF⊥BE，再由线面垂直的判断得答案；
（2）利用等积法把四面体D-AFC的体积转化为三棱锥F-ADC的体积求解．

解答 （1）证明：如图，
∵平面ABCD⊥平面ABE，平面ABCD∩平面ABE=AB，
且DA⊥AB，∴DA⊥平面ABE，则DA⊥BE，
又△ABE为等边三角形，且F为BE的中点，∴AF⊥BE，
又DA∩AF=A，∴BE⊥平面AFD；
（2）解：∵四边形ABCD为矩形，AB=2，AD=$\sqrt{3}$，
∴${S}_{△DAC}=\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}=\sqrt{3}$，
又等边三角形ABE的边AB上的高h=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}=\sqrt{3}$，
∴F到平面ABCD的距离为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴${V}_{D-AFC}={V}_{F-ADC}=\frac{1}{3}×\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}$．

点评 本题考查直线与平面垂直的判断，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．