题目内容

3．已知函数f（x）=x2+2bx的图象在点A（0，f（0））处的切线l与直线x-y+3=0平行，若数列$\left\{{\frac{1}{f（n）}}\right\}$的前n项和为Sn，则S2016=$\frac{2016}{2017}$．

分析 通过向量相等、求导并解方程可知b=$\frac{1}{2}$，进而裂项可知$\frac{1}{f（n）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，并项相加即得结论．

解答 解：∵函数f（x）=x2+2bx的图象在点A（0，f（0））处的切线l与直线x-y+3=0平行，
∴f′（0）=0+2b=1，即b=$\frac{1}{2}$，
∴f（x）=x2+x，$\frac{1}{f（n）}$=$\frac{1}{{n}^{2}+n}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴S2016=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2016}$-$\frac{1}{2017}$=$\frac{2016}{2017}$，
故答案为：$\frac{2016}{2017}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查裂项相消法，注意解题方法的积累，属于中档题．

练习册系列答案
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1．若命题p：?x∈R，不等式x2-2$\sqrt{2}$x+a＞0恒成立，命题q：?x∈R，不等式|x-1|+|x+1|＞a恒成立，则命题￢p是q的（　　）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
2．在等比数列中，已知a1+a4=20，a2+a5=40，则它的前5项和是$\frac{620}{9}$．
19．在等比数列{an}中，已知a1+a3=2.5，a4+a6=20，求该数列的前10项和．
6．设向量$\overrightarrow{a}$=（1，-3），$\overrightarrow{b}$=（-1，-2）．
（1）若表示向量4$\overrightarrow{a}$，-2$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$的有向线段首尾顺次相接能构成三角形，求向量$\overrightarrow{c}$的坐标；
（2）在（1）的条件下，若|λ$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{c}$|=3$\sqrt{5}$，求λ的值．
8．在等差数列{an}中，Sn为其前n项的和，已知a1+a3=22，S5=45．
（1）求an，Sn；                
（2）设数列{Sn}中最大项为Sk，求k．
15．数列{an}中，a1=3，点（an，an+1）在直线y=x+3上．
（Ⅰ）求证数列{an}是等差数列，并求出数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若bn=$\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$，求数列{bn}的前n项和Sn．
12．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn=an（an+1），数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n项和为Tn，现有如下结论：
①an=n；
②$\frac{{T}_{2n-1}}{2n-1}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$；
③2T2n-Tn≥3-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$；
④T2n-Tn$≥\frac{1}{2}$
其中正确结论的序号为①③④（填上所有正确结论的序号）
13．复数z1，z2在复平面内对应的点的坐标分别为（0，2）（1，-1），z=$\frac{{z}_{1}}{\overline{{z}_{2}}}$，则复数z的实部与虚部之和为（　　）
A．$\sqrt{2}$B．1+iC．1D．2

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