题目内容
14．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）与双曲线$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}$=1（m＞0，n＞0）有相同的焦点（-c，0）和（c，0），若c是a，m的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项，则椭圆的离心率是（ ）| A． | $\frac{1}{4}$ | B． | $\frac{1}{2}$ | C． | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | D． | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ |
分析 根据是a、m的等比中项可得c2=am，根据椭圆与双曲线有相同的焦点可得a2-b2=m2+n2=c2，根据n2是2m2与c2的等差中项可得2n2=2m2+c2，联立方程即可求得a和c的关系，进而求得离心率e．
解答 解：由椭圆和双曲线有相同的焦点，
可得a2-b2=m2+n2=c2，
由c是a，m的等比中项，可得c2=am；
由n2是2m2与c2的等差中项，可得2n2=2m2+c2．
（即有n2=m2+$\frac{1}{2}$c2．解得m=$\frac{1}{2}$c，
代入c2=am，即为a=2c，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$）
可得m=$\frac{{c}^{2}}{a}$，n2=$\frac{{c}^{4}}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{2}$c2，
即有$\frac{2{c}^{4}}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{2}$c2=c2，
化简可得，a2=4c2，
即有e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$．
故选：B．
点评 本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的性质，同时考查等差数列和等比数列的中项的性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
练习册系列答案
长江作业本同步练习册系列答案
相关题目
2．已知函数y=tanωx（ω＞0）与直线y=a相交于A、B两点，且|AB|最小值为π，则函数f（x）=3sin（ωx-$\frac{π}{6}$）的单调增区间是（ ）
| A． | [k$π-\frac{π}{6}$，k$π+\frac{π}{3}$]（k∈Z） | B． | [2kπ-$\frac{π}{3}$，2k$π+\frac{2π}{3}$]（k∈Z） | ||
| C． | [kπ+$\frac{π}{3}$，k$π+\frac{5π}{6}$]（k∈Z） | D． | [2k$π+\frac{2π}{3}$，2k$π+\frac{5π}{3}$]（k∈Z） |
19．命题p：?x0＞1，lgx0＞1，则￢p为（ ）
| A． | ?x0＞1，lgx0≤1 | B． | ?x0＞1，lgx0＜1 | C． | ?x＞1，lgx≤1 | D． | ?x＞1，lgx＜1 |