Question

4．已知定点F₁（-$\sqrt{3}$，0），F₂（$\sqrt{3}$，0）曲线C是使得|RF₁|+|RF₂|为定值（大于|F₁F₂|）的点R的轨迹，且曲线C过点T（0，1）．
（1）求曲线C的方程；
（2）若直线l过点F₂，且与曲线C交于P，Q两点，当△F₁PQ的面积取得最大值时，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）推导出曲线C为以原点为中心，F₁，F₂为焦点的椭圆，由此能求出曲线C的方程．
（2）设直线l的为：$x=my+\sqrt{3}$，代入椭圆方程，得$（4+{m^2}）{y^2}+2\sqrt{3}my-1=0$，由此利用根的判别式、弦长公式、点到直线距离公式、三角形面积公式，结合已知条件能求出△F₁PQ的面积取得最大值时，直线l的方程．

解答 解：（1）∵定点F₁（-$\sqrt{3}$，0），F₂（$\sqrt{3}$，0）曲线C是使得|RF₁|+|RF₂|为定值（大于|F₁F₂|）的点R的轨迹，
且曲线C过点T（0，1），
∴$|{R{F_1}}|+|{R{F_2}}|=|{T{F_1}}|+|{T{F_2}}|=2\sqrt{{{（\sqrt{3}）}^2}+1}=4＞|{{F_1}{F_2}}|=2\sqrt{3}$，
∴曲线C为以原点为中心，F₁，F₂为焦点的椭圆，
设其长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，则$2c=2\sqrt{3}$，
∴$a=2，c=\sqrt{3}，b=1$，
∴曲线C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．…（4分）
（2）设直线l的为：$x=my+\sqrt{3}$，
代入椭圆方程$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，得$（4+{m^2}）{y^2}+2\sqrt{3}my-1=0$，
计算并判断得△＞0，
设P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），得$\left\{\begin{array}{l}{y_3}+{y_4}=-\frac{{2\sqrt{3}m}}{{4+{m^2}}}\\{y_3}{y_4}=-\frac{1}{{4+{m^2}}}\end{array}\right.$，
∴$|{PQ}|=\sqrt{{{（x{\;}_3-{x_4}）}^2}+{{（{y_3}-{y_4}）}^2}}=\sqrt{（1+{m^2}）[{{（{y_3}+{y_4}）}^2}-4{y_3}{y_4}\left.{\;}]}=\frac{{4（1+{m^2}）}}{{4+{m^2}}}$，
${F_1}到直线l的距离d=\frac{{2\sqrt{3}}}{{\sqrt{1+{m^2}}}}$，
设$t=\sqrt{1+{m^2}}$，则t≥1，
∴${S_{△{F_1}PQ}}=\frac{1}{2}|PQ|•d=4\sqrt{3}×\frac{{\sqrt{1+{m^2}}}}{{4+{m^2}}}=\frac{{4\sqrt{3}t}}{{{t^2}+3}}=\frac{{4\sqrt{3}}}{{t+\frac{3}{t}}}≤2$
当${t^2}=3，即{m^2}=2，m=±\sqrt{2}$时，面积最大，
∴△F₁PQ的面积取得最大值时，直线l的方程为：$x+\sqrt{2}y-\sqrt{3}=0和x-\sqrt{2}y-\sqrt{3}=0$…（12分）

点评 本题考查曲线方程的求法，考查三角形面积最大时直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、弦长公式、点到直线距离公式、三角形面积公式的合理运用．