题目内容
3．设集合A是实数集R的子集，如果x0∈R满足：对任意a＞0，都存在x∈A，使得0＜|x-x0|＜a，则称x0为集合A的聚点，给出下列集合（其中e为自然对数的底）：①{1+$\frac{1}{x}$|x＞0}；②{2x|x∈N}；③{x2+x+2|x∈R}；④{lnx|x＞0且x≠e}，其中，以1为聚点的集合有（ ）| A． | ①② | B． | ②③ | C． | ③④ | D． | ①④ |
分析 由已知中关于集合聚点的定义，我们逐一分析四个集合中元素的性质，并判断是否满足集合聚点的定义，进而得到答案．
解答 解：①{1+$\frac{1}{x}$|x＞0}中的元素构成以1为极限的数列，故对任意a＞0，都存在x∈A，使得0＜|x-1|＜a成立，符合题意；
②{2x|x∈N}，y=2x是单调增函数，对任意a＞0，不存在x∈A，使得0＜|x-1|＜a，不符合题意；
③{x2+x+2|x∈R}，∵x2+x+2≥$\frac{7}{4}$，对任意a＞0，不存在x∈A，使得0＜|x-1|＜a，不符合题意；
④{lnx|x＞0且x≠e}，lnx≠1，满足：对任意a＞0，都存在x∈A，使得0＜|x-1|＜a，故此集合以1为聚点符合题意，
故选：D．
点评 本题考查的知识点是集合元素的性质，其中正确理解新定义--集合的聚点的含义，是解答本题的关键，属于中档题．
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14．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）与双曲线$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}$=1（m＞0，n＞0）有相同的焦点（-c，0）和（c，0），若c是a，m的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项，则椭圆的离心率是（ ）
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