Question

P(x₀，y₀)(x₀≠±a)是双曲线E：－＝1(a>0，b>0)上一点，M、N分别是双曲线E的左、右顶点，直线PM，PN的斜率之积为.

(1)求双曲线的离心率；

(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足＝λ＋，求λ的值．

Answer 1

解：(1)由点P(x₀，y₀)(x≠±a)

在双曲线－＝1上，有－＝1.

由题意又有＝，

可得a²＝5b²，c²＝a²＋b²＝6b²，

则e＝＝.

(2)联立，得4x²－10cx＋35b²＝0，

设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，

则①

设＝(x₃，y₃)，＝λ＋，即

又C为双曲线上一点，即x－5y＝5b²，

有(λx₁＋x₂)²－5(λy₁＋y₂)²＝5b².

化简得：λ²(x－5y)＋(x－5y)＋2λ(x₁x₂－5y₁y₂)＝5b²，

又A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)在双曲线上，

所以x－5y＝5b²，x－5y＝5b².

由①式又有x₁x₂－5y₁y₂＝x₁x₂－5(x₁－c)·(x₂－c)＝－4x₁x₂＋5c(x₁＋x₂)－5c²＝10b²，得：λ²＋4λ＝0，解得λ＝0，或λ＝－4.