Question

已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，右焦点到直线x＋y＋＝0的距离为2.

(1)求椭圆的方程；

(2)过点M(0，－1)作直线l交椭圆于A，B两点，交x轴于N点，且满足＝－，求直线l的方程．

Answer 1

解：(1)设椭圆的右焦点为(c,0)(c＞0)，则＝2，c＋＝±2，c＝或c＝－3(舍去)．

又离心率＝，＝，故a＝2，b＝＝，故椭圆的方程为＋＝1.

(2)设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，N(x_0,0)，因为＝－，

所以(x₁－x₀，y₁)＝－(x₂－x₀，y₂)，y₁＝－y₂.①

易知当直线l的斜率不存在或斜率为0时，①不成立，

于是设直线l的方程为y＝kx－1(k≠0)，

联立方程，得

消去x得(4k²＋1)y²＋2y＋1－8k²＝0，②

因为Δ＞0，所以直线与椭圆相交，

于是y₁＋y₂＝－，③

y₁y₂＝， ④

由①③得，y₂＝，y₁＝－，

代入④整理得8k⁴＋k²－9＝0，k²＝1，k＝±1，

所以直线l的方程是y＝x－1或y＝－x－1.