Question

设数列{a_n}的各项均为正数，前n项和为S_n，对于任意的n∈N₊，a_n，S_n，a_n²成等差数列，设数列{b_n}的前n项和为T_n，且b_n=

(lnx)n

an2

，若对任意的实数x∈（1，e]（e是自然对数的底）和任意正整数n，总有T_n＜r（r∈N₊），则r的最小值为

 

．

Answer 1

考点：等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：首先根据题意，可得2S_n=a_n+a_n^2…①与2S_n-1=a_n-1+a_n-1^2…②成立，①-②得2a_n=a_n+a_n²-a_n-1-a_n-1²，化简，可得a_n-a_n-1=1（n≥2），进而求出{a_n}是公差为1的等差数列；然后根据对数的性质，任意的x∈（1，e]，有0＜lnx＜1，而a_n=n，则总有b_n=

(lnx)n

an2

≤

1

n2

，用放缩法和裂项相消法，可得T_n的范围，进而求出r的最小值即可．

解答： 解：因为对于任意的n∈N₊，a_n，S_n，a_n²成等差数列，
所以2S_n=a_n+a_n^2…①，2S_n-1=a_n-1+a_n-1^2…②，
①-②得2a_n=a_n+a_n²-a_n-1-a_n-1²，
化简，可得a_n-a_n-1=1（n≥2），
因此{a_n}是公差为1的等差数列；
又因为n=1时，2S₁=a₁+a₁²，
解得a₁=1，
所以a_n=n（n∈N^*）；
对任意实数x∈（1，e]，有0＜lnx＜1，
对于任意正整数n，总有b_n=

(lnx)n

an2

≤

1

n2

，
因此T_n≤

1

12

+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜1+

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n-1)

＜1+1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

=2-

1

n

＜2，
所以T_n＜r（r∈N₊），则r的最小值为2．
故答案为：2．

点评：本题主要考查了等差数列的性质的运用，考查了放缩法和裂项相消法求和的范围的运用，属于中档题．