Question

已知抛物线C：x²=4y的焦点为F，过点F作直线l交抛物线C于A、B两点；椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，点F是它的一个顶点，且其离心率e=

3

2

．
（1）求椭圆E的方程；
（2）经过A、B两点分别作抛物线C的切线l₁、l₂，切线l₁与l₂相交于点M．证明：点M定在直线y=-1上；
（3）椭圆E上是否存在一点M′，经过点M′作抛物线C的两条切线M′A′、M′B′（A′、B′为切点），使得直线A′B′过点F？若存在，求出切线M′A′、M′B′的方程；若不存在，试说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由点抛物线焦点F是椭圆的一个顶点可得b=1，由椭圆离心率e=

3

2

，椭圆方程可求．
（2）设直线l的方程为y=kx+，1与双曲线方程联立，消去y，得到关于A，B点横坐标的一元二次方程，求两根的和与积，再用导数求过A，B点的切线方程，求出两条切线的交点M的坐标即可．
（3）先假设椭圆E上存在点M′，经过点M′作抛物线C的两条切线M′A′、M′B（A′、B′为切点），直线A′B′过点F．再根据假设与已知条件去求M′坐标，即可得出结论．

解答： 解：（1）设椭圆E的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，半焦距为c．
由已知条件，F（0，1），∴b=1，e=

c

a

=

3

2

，a²=b²+c²，
解得a=2，b=1．所以椭E的方程为

x2

4

+y2=1．…（3分）
（2）显然直线l的斜率存在，否则直线l与抛物线C只有一个交点，不合题意，
故可设直线l的方程为y=kx+1，A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）（x₁≠x₂）
与抛物线方程联立，消去y，并整理得，x²-4kx-4=0
∴x₁x₂=-4．…（5分）
∵抛物线的方程为y=

1

4

x²，求导得y′=

1

2

x，
∴过抛物线上A，B两点的切线方程分别是
y-y₁=

1

2

x₁（x-x₁），y-y₂=

1

2

x₂（x-x₂）
即y=

1

2

x₁x-

1

4

x₁²，y=

1

2

x₂x-

1

4

x₂²
解得两条切线的交点M的坐标为（

x1+x2

2

，-1），
∴点M在直线y=-1上．．…（8分）
（3）假设存在点M′满足题意，由（2）知点M′必在直线y=-1上，又直线y=-1与椭圆有唯一交点，故M′的坐标为（0．-1），
设过点M′且与抛物线C相切的切线方程为y-y₀=

1

2

x₀（x-x₀），其中点（x₀，y₀）为切点．
令x=0，y=-1得，-1-

1

4

x₀²=

1

2

x₀（0-x₀），解得x₀=2或x₀=-2，
故不妨取A′（-2，1）B′（2，1），即直线A′B′过点F．
综上所述，椭圆E上存在一点M′（0，-1），经过点M′作抛物线C的两条切线M′A′、M′B′（A′、B′为切点），能使直线A′B′过点F．
此时，两切线的方程分别为y=-x-1和y=x-1．…（13分）

点评：本题考查了抛物线，椭圆与直线导数等的综合应用，属于较难题型，做题适应认真分析，找到他们的联系点．