题目内容
4．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知A=$\frac{π}{4}$，a=$\sqrt{3}$．（1）若sinB=$\frac{3}{5}$，求边c的长；
（2）若|$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CB}$|=$\sqrt{6}$，求$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$的值．
分析 （1）由正弦定理可得b=$\frac{\sqrt{3}}{sin\frac{π}{4}}$$•\frac{3}{5}$=$\frac{3\sqrt{6}}{5}$由余弦定理可得3=c2+$\frac{54}{25}$-2•$\frac{3\sqrt{6}}{5}$c•$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即可求出c；
（2）由余弦定理可得$\left\{\begin{array}{l}{3={b}^{2}+{c}^{2}-\sqrt{2}bc}\\{（\frac{\sqrt{6}}{2}）^{2}={b}^{2}+\frac{{c}^{2}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{2}bc}\end{array}\right.$，求出b，即可求$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$的值．
解答 解：（1）由正弦定理可得b=$\frac{\sqrt{3}}{sin\frac{π}{4}}$$•\frac{3}{5}$=$\frac{3\sqrt{6}}{5}$
由余弦定理可得3=c2+$\frac{54}{25}$-2•$\frac{3\sqrt{6}}{5}$c•$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴c2-$\frac{6\sqrt{3}}{5}$c-$\frac{21}{25}$=0，
∴c=$\frac{7\sqrt{3}}{5}$；
（2）由余弦定理可得$\left\{\begin{array}{l}{3={b}^{2}+{c}^{2}-\sqrt{2}bc}\\{（\frac{\sqrt{6}}{2}）^{2}={b}^{2}+\frac{{c}^{2}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{2}bc}\end{array}\right.$，∴b=$\sqrt{3}$，
∵|$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CB}$|=$\sqrt{6}$，
∴3+3+2$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$=6，
∴$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$=0．
点评 本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
名校课堂系列答案
如图的平面直角坐标系中，O为坐标原点，点B在单位圆上，A（2，0），∠AOB=θ，△ABC为等边三角形．| A． | $\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$共线，$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{c}$共线，则$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{c}$也共线 | |
| B． | 任意两个相等的非零向量的始点与终点总是一平行四边形的四个顶点 | |
| C． | 向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$不共线，则$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$都是非零向量 | |
| D． | 有相同起点的两个非零向量不平行 |