Question

16．如果指数函数y=a^x（a＞0且a≠1）在x∈[0，1]上的最大值与最小值的和为$\frac{5}{2}$，则实数a=$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 由已知中指数函数y=a^x在[0，1]上的最大值与最小值的和为$\frac{5}{2}$，根据指数函数一定为单调函数，则最大值与最小值的和一定等于a+1，由此构造方程，解方程即可得到答案．

解答 解：若a＞1，则指数函数y=a^x在[0，1]上单调递增；
则指数函数y=a^x在[0，1]上的最小值与最大值分别为1和a，
又∵指数函数y=a^x在[0，1]上的最大值与最小值的和为$\frac{5}{2}$，
则a+1=$\frac{5}{2}$，解得a=$\frac{3}{2}$；
若0＜a＜1，则指数函数y=a^x在[0，1]上单调递减；
则指数函数y=a^x在[0，1]上的最大值与最小值分别为1和a，
又∵指数函数y=a^x在[0，1]上的最大值与最小值的和为$\frac{5}{2}$，
则a+1=$\frac{5}{2}$，解得a=$\frac{3}{2}$（舍去）．
故答案为：$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查的知识点是指数函数的单调性，其中根据指数函数一定为单调函数，则最大值与最小值的和一定等于a+1，并构造出关于a的方程，是解答本题的关键．