Question

13．下列函数中，满足“f（x+y）=f（x）f（y）”的单调递增函数是（　　）

• A． f（x）=x${\;}^{\frac{1}{2}}$
• B． f（x）=3^x
• C． f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x
• D． f（x）=log₂x

Answer 1

分析 对于A，D可取两个数x₀，y₀，然后可求出f（x₀+y₀）≠f（x₀）f（y₀），从而说明这两个函数都不满足条件“f（x+y）=f（x）f（y）”，而C为减函数，从而C也不符合条件，而选项B容易得出f（x+y）=f（x）f（y），显然又是增函数，这样便可得出正确选项．

解答 解：A．f（1+2）=${3}^{\frac{1}{2}}$，f（1）f（2）=${2}^{\frac{1}{2}}$；
∴该函数不满足f（x+y）=f（x）f（y），即该选项错误；
B．f（x+y）=3^x+y，f（x）f（y）=3^x•3^y=3^x+y；
∴该函数满足f（x+y）=f（x）f（y）；
又该函数为增函数，∴该选项正确；
C．该函数为减函数，∴该选项错误；
D．f（1+2）=log₂3，f（1）f（2）=0；
∴该函数不满足f（x+y）=f（x）f（y），即该选项错误．
故选B．

点评 考查幂函数、指数函数及对数函数的单调性，以及指数式的运算，已知函数求值的方法．