Question

8．设函数f（x）在[0，+∞）上有连续导数，且f′（x）≥k＞0，f（0）＜0．证明f（x）在（0，+∞）内有且仅有一个零点．

Answer 1

分析 由f′（x）≥k＞0，可得f（x）在（0，+∞）递增，可令g（x）=f（x）-kx，求出导数，判断单调性，再由函数零点存在定理，即可得证．

解答 证明：由f′（x）≥k＞0，可得
f（x）在（0，+∞）递增，
可令g（x）=f（x）-kx，
由g′（x）=f′（x）-k≥0，
即有g（x）在（0，+∞）递增，
g（x）＞g（0）=f（0），
则有f（x）-kx＞f（0），
即f（x）＞kx+f（0），
由f（0）＜0，kx＞0，当x→+∞，kx→+∞，
使得kx+f（0）＞0，由f（x）在（0，+∞）递增，
根据函数零点存在定理，
可得f（x）在（0，+∞）内有且仅有一个零点．

点评 本题考查导数的运用：求单调性，考查函数零点存在定理的运用，属于基础题．