Question

8．已知圆C：（x-3）²+y²=4，直线l过点（2，0）与圆C交于两点A，B，则$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$的取值范围是（　　）

• A． [1，+∞）
• B． （-∞，5）
• C． [1，5]
• D． [1，5）

Answer 1

分析 由题意画出图形，设出直线l的方程，联立直线方程与圆的方程，化为关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系及数量积公式求解．

解答 解：如图，
设直线l的方程为x=2+ty，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=2+ty}\\{（x-3）^{2}+{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，得（t²+1）y²-2ty-3=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{2t}{{t}^{2}+1}$，${y}_{1}{y}_{2}=-\frac{3}{{t}^{2}+1}$．
x₁x₂=（ty₁+2）（ty₂+2）=t²y₁y₂+2t（y₁+y₂）+4
=$\frac{-3{t}^{2}}{{t}^{2}+1}+\frac{4{t}^{2}}{{t}^{2}+1}+4=\frac{5{t}^{2}+4}{{t}^{2}+1}$．
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=$\frac{5{t}^{2}+4}{{t}^{2}+1}-\frac{3}{{t}^{2}+1}=\frac{5{t}^{2}+1}{{t}^{2}+1}=5-\frac{4}{{t}^{2}+1}$．
∵t²+1≥1，1≤$5-\frac{4}{{t}^{2}+1}＜5$．
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$的取值范围是[1，5）．
故选：D．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题．