Question

19．设函数f（x）=|x-2|+|x-a|．
（Ⅰ）若a=-2，解不等式f（x）≥5；
（Ⅱ）如果当x∈R时，f（x）≥3-a，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据题意，将a=-2代入f（x）的解析式可得f（x）=|x-2|+|x+2|，用零点分段讨论法分析可得答案；
（Ⅱ）用绝对值不等式的性质分析可得|x-2|+|x-a|≥|x-2-（x-a）|=|a-2|，进而可以将f（x）≥3-a转化为|a-2|≥3-a，分a≥2与a＜2分别讨论|a-2|≥3-a的解集，综合即可得答案．

解答 解：（Ⅰ）当a=-2时，f（x）=|x-2|+|x+2|，
①当x≤-2时，原不等式化为：-2x≥5，解得$x≤-\frac{5}{2}$，从而$x≤-\frac{5}{2}$；
②当-2＜x≤2时，原不等式化为：4≥5，无解；
③当x＞2时，原不等式化为：2x≥5，解得$x≥\frac{5}{2}$，从而$x≥\frac{5}{2}$；
综上得不等式的解集为$\left\{{x\left|{x≤-\frac{5}{2}或x≥\frac{5}{2}}\right.}\right\}$．
（Ⅱ）当x∈R时，|x-2|+|x-a|≥|x-2-（x-a）|=|a-2|，
所以当x∈R时，f（x）≥3-a等价于|a-2|≥3-a-----（①）
当a≥2时，①等价于a-2≥3-a，解得$a≥\frac{5}{2}$，从而$a≥\frac{5}{2}$；
当a＜2时，①等价于2-a≥3-a，无解；
故所求a的取值范围为$[\frac{5}{2}，+∞）$．

点评 本题考查绝对值不等式的解法，关键是利用零点分段讨论法将原绝对值不等式转化为一般的不等式．