如图.在平面直角坐标系xOy中.焦点在x轴上的椭圆C:$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1经过点.其中e为椭圆C的离心率．过点T的直线l交椭圆C于A.B两点．(1)求椭圆C的标准方程,(2)过点O且平行于l的直线交椭圆C于点M.N.求 $\frac{AT•BT}{MN2}$ 的值,(3)记直线l与y轴� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

9．

如图，在平面直角坐标系xOy中，焦点在x轴上的椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1经过点（b，2e），其中e为椭圆C的离心率．过点T（1，0）作斜率为k（k＞0）的直线l交椭圆C于A，B两点（A在x轴下方）．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点O且平行于l的直线交椭圆C于点M，N，求 $\frac{AT•BT}{MN2}$ 的值；
（3）记直线l与y轴的交点为P．若$\overrightarrow{AP}$=$\frac{2}{5}$$\overrightarrow{TB}$，求直线l的斜率k．

分析（1）由题意得e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{{c}^{2}}{8}$，$\frac{{b}^{2}}{8}+\frac{4{e}^{2}}{{b}^{2}}=1$．又a²=b²+c²，$\frac{{b}^{2}}{8}+\frac{8-{b}^{2}}{2{b}^{2}}=1$，解得b²；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．设直线l的方程为y=k（x-1）．
联立直线l与椭圆方程$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，消去y，得（2k²+1）x²-4k²x+2k²-8=0，可设直线MN方程为y=kx，联立直线MN与椭圆方程$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，消去y得（2k²+1）x²=8，由MN∥l，得$\frac{AT•BT}{M{N}^{2}}=\frac{（1-{x}_{1}）•（{x}_{2}-1）}{{（x}_{M}-{x}_{N}）^{2}}$
由（1-x₁）•（x₂-1）=-[x₁x₂-（x₁+x₂）+1]=$\frac{7}{2{k}^{2}+1}$．得（x_M-x_N）²=4x²=$\frac{32}{2{k}^{2}+1}$．即可．
（3）在y=k（x-1）中，令x=0，则y=-k，所以P（0，-k），从而 $\overrightarrow{AP}=（-{x}_{1}，-k-{y}_{1}），\overrightarrow{TB}=（{x}_{2}-1，{y}_{2}）$，由$\overrightarrow{AP}$=$\frac{2}{5}$$\overrightarrow{TB}$得 $-{x}_{1}=\frac{2}{5}（{x}_{2}-1），即{x}_{1}+\frac{2}{5}{x}_{2}=\frac{2}{5}$…①，由（2）知$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=\frac{4{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}}\\{{x}_{1}{x}_{2}=\frac{2{k}^{2}-8}{2{k}^{2}+1}}\end{array}\right.$…②由①②得${x}_{1}=\frac{-4{k}^{2}+2}{3（2{k}^{2}+1）}，{x}_{2}=\frac{16{k}^{2}-2}{3（2{k}^{2}+1）}$⇒50k⁴-83k²-34=0，解得k²

解答解：（1）因为椭圆椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1经过点（b，2e）所以$\frac{{b}^{2}}{8}+\frac{4{e}^{2}}{{b}^{2}}=1$．
因为e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{{c}^{2}}{8}$，所以$\frac{{b}^{2}}{8}+\frac{{c}^{2}}{2{b}^{2}}=1$，
又∵a²=b²+c²，$\frac{{b}^{2}}{8}+\frac{8-{b}^{2}}{2{b}^{2}}=1$，解得b²=4或b²=8（舍去）．
所以椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
因为T（1，0），则直线l的方程为y=k（x-1）．
联立直线l与椭圆方程$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，消去y，得（2k²+1）x²-4k²x+2k²-8=0，
所以x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}-8}{2{k}^{2}+1}$．
因为MN∥l，所以直线MN方程为y=kx，
联立直线MN与椭圆方程$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$
消去y得（2k²+1）x²=8，
解得x²=$\frac{8}{2{k}^{2}+1}$
因为MN∥l，所以$\frac{AT•BT}{M{N}^{2}}=\frac{（1-{x}_{1}）•（{x}_{2}-1）}{{（x}_{M}-{x}_{N}）^{2}}$
因为（1-x₁）•（x₂-1）=-[x₁x₂-（x₁+x₂）+1]=$\frac{7}{2{k}^{2}+1}$．
（x_M-x_N）²=4x²=$\frac{32}{2{k}^{2}+1}$．
所以$\frac{AT•BT}{M{N}^{2}}=\frac{（1-{x}_{1}）•（{x}_{2}-1）}{{（x}_{M}-{x}_{N}）^{2}}$=$\frac{7}{32}$．
（3）在y=k（x-1）中，令x=0，则y=-k，所以P（0，-k），
从而 $\overrightarrow{AP}=（-{x}_{1}，-k-{y}_{1}），\overrightarrow{TB}=（{x}_{2}-1，{y}_{2}）$，
∵$\overrightarrow{AP}$=$\frac{2}{5}$$\overrightarrow{TB}$，$-{x}_{1}=\frac{2}{5}（{x}_{2}-1），即{x}_{1}+\frac{2}{5}{x}_{2}=\frac{2}{5}$…①
由（2）知$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=\frac{4{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}}\\{{x}_{1}{x}_{2}=\frac{2{k}^{2}-8}{2{k}^{2}+1}}\end{array}\right.$…②
由①②得${x}_{1}=\frac{-4{k}^{2}+2}{3（2{k}^{2}+1）}，{x}_{2}=\frac{16{k}^{2}-2}{3（2{k}^{2}+1）}$⇒50k⁴-83k²-34=0，解得k²=2或k²=-$\frac{17}{50}$（舍）．
又因为k＞0，所以k=$\sqrt{2}$．…（16分）