Question

17．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₁，C₂的极坐标方程分别为ρ=2sinθ，ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求C₁和C₂交点的极坐标；
（Ⅱ）直线l的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），直线l与x轴的交点为P，且与C₁交于A，B两点，求|PA|+|PB|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出C₁和C₂的直角坐标方程，得出交点坐标，再求C₁和C₂交点的极坐标；
（Ⅱ）利用参数的几何意义，即可求|PA|+|PB|．

解答 解：（Ⅰ）由C₁，C₂极坐标方程分别为ρ=2sinθ，$ρcos（{θ-\frac{π}{4}}）=\sqrt{2}$’
化为平面直角坐标系方程分为x²+（y-1）²=1，x+y-2=0．       …（1分）
得交点坐标为（0，2），（1，1）．                                    …（3分）
即C₁和C₂交点的极坐标分别为$（{2，\frac{π}{2}}）\;\;（{\sqrt{2}，\frac{π}{4}}）$．…（5分）
（II）把直线l的参数方程：$\left\{\begin{array}{l}x=-\sqrt{3}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\\ y=\frac{1}{2}t\end{array}\right.$（t为参数），代入x²+（y-1）²=1，
得${（{-\sqrt{3}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}）^2}+{（{\frac{1}{2}t-1}）^2}=1$，…（7分）
即t²-4t+3=0，t₁+t₂=4，…（9分）
所以|PA|+|PB|=4．…（10分）

点评 本题考查极坐标方程转化为直角坐标方程，考查参数几何意义的运用，属于中档题．