Question

设f（x）是定义在R上的奇函数，且y=f（x）的图象关于直线x=

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对称，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+…+f（2010）=

 

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Answer 1

分析：f（x）是定义在R上的奇函数可得f（x）=-f（-x），由y=f（x）的图象关于直线x=

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对称，得到f（1-x）=f（x）与f（x）=-f（-x）结合，根据函数是奇函数的性质求出函数的周期，再求出一个周期上的函数值，再求f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+…+f（2010）值

解答：解：f（x）是定义在R上的奇函数可得f（x）=-f（-x），①
y=f（x）的图象关于直线x=

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对称，得到f（1-x）=f（x）  ②
由①②得f（1-x）=-f（-x）③，由奇的性质③可变为f（x-1）=-f（x）在R上恒成立，故有f（x-1）=f（x+1），即函数f（x）的周期是2，故有f（0）=f（2）=0 ④
又f（x）是定义在R上的奇函数，且y=f（x）的图象关于直线x=

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对称，知f（1）=f（0）=0 ⑤
由④⑤及函数的周期是2，f（1）=f（2）=f（3）=f（4）=…=f（2010）=0
故有f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+…+f（2010）=0
故答案为：0

点评：本题考查函数的周期性，解题的关键是理解题设中的条件求出函数的周期，再由周期性求值