Question

19．如图，在矩形ABCD中，AB=$\sqrt{3}$AD，点Q为线段CD（含端点）上一个动点，且$\overrightarrow{DQ}$=λ$\overrightarrow{QC}$，BQ交AC于P，且$\overrightarrow{AP}$=μ$\overrightarrow{PC}$，若AC⊥BP，则λ-μ=-1．

Answer 1

分析 可由$\overrightarrow{DQ}=λ\overrightarrow{QC}$得到$\overrightarrow{DC}=（λ+1）\overrightarrow{QC}$，从而便可得到$\frac{AB}{QC}=λ+1$，而同理可以由$\overrightarrow{AP}=μ\overrightarrow{PC}$可以得出$\frac{AP}{PC}=μ$，而△PAB和△PCQ相似，从而根据相似三角形对应边的比例关系便可得出λ+1=μ，从而可得出λ-μ的值．

解答 解：$\overrightarrow{DQ}=λ\overrightarrow{QC}$；
∴$\overrightarrow{DC}=（λ+1）\overrightarrow{QC}$；
∴AB=DC=（λ+1）QC；
∴$\frac{AB}{QC}=λ+1$；
∵$\overrightarrow{AP}=μ\overrightarrow{PC}$；
∴AP=μPC；
∴$\frac{AP}{PC}=μ$；
又△PCQ∽△PAB；
∴$\frac{AB}{QC}=\frac{AP}{PC}$；
∴λ+1=μ；
∴λ-μ=-1．
故答案为：-1．

点评 考查向量数乘的几何意义，以及三角形相似的概念，相似三角形对应边的比例关系．