Question

【题目】（本题满分12分） 如图，的外接圆的半径为，所在的平面，，，，且，．

（1）求证：平面ADC平面BCDE．

（2）试问线段DE上是否存在点M，使得直线AM与平面ACD所成角的正弦值为？若存在，

确定点M的位置，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）答案详见解析；（2）存在，且．

【解析】

试题（1）由已知中CD⊥⊙O所在的平面，BE∥CD，易得BE⊥平面ABC，则BE⊥AB，由BE=1，，易得AB是⊙O的直径，则AC⊥BC由线面垂直的判定定理可得CD⊥平面ABC，再由面面垂直的判定定理可得平面ADC⊥平面BCDE；（2）方法一：过点M作MN⊥CD于N，连接AN，作MF⊥CB于F，连接AF，可得∠MAN为MA与平面ACD所成的角，设MN=x，则由直线AM与平面ACD所成角的正弦值为，我们可以构造关于x的方程，解方程即可求出x值，进而得到点M的位置．方法二：建立如图所示空间直角坐标系C-xyz，求出平面ABC的法向量和直线AM的方向向量（含参数λ），由直线AM与平面ACD所成角的正弦值为，根据向量夹角公式，我们可以构造关于λ的方程，解方程即可得到λ值，进而得到点M的位置．

试题解析：（1）∵CD ⊥平面ABC，BE//CD

∴BE⊥平面ABC，∴BE⊥AB

∵BE=1，∴，

从而

∵⊙的半径为，∴AB是直径，

∴AC⊥BC

又∵CD ⊥平面ABC，∴CD⊥BC，故BC⊥平面ACD

平面BCDE，∴平面ADC平面BCDE

（2）方法1：

假设点M存在，过点M作MN⊥CD于N，连结AN，作MF⊥CB于F，连结AF

∵平面ADC平面BCDE，

∴MN⊥平面ACD，∴∠MAN为MA与平面ACD所成的角

设MN=x，计算易得，DN=，MF=

故

解得：（舍去），…11分

故，从而满足条件的点存在，且

方法2：建立如图所示空间直角坐标系C—xyz，

则：A（4，0，0），B（0，2，0），D（0，0，4），E（0，2，1），O（0，0，0），则

易知平面ABC的法向量为，假设M点存在，设，则，再设 ，

即，从而…10分

设直线BM与平面ABD所成的角为，则：

解得，其中应舍去，而故满足条件的点M存在，且点M的坐标为