Question

在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD．
1）求证AB⊥面VAD；
2）求面VAD与面VDB所成的二面角的大小．

Answer 1

分析：（1）欲证AB⊥面VAD，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AB与面VAD内两相交直线垂直，而VE⊥AB可由面VAD⊥底面ABCD得到，AB⊥AD，满足定理条件；
（2）设VD的中点为F，连AF，AF⊥VD，由三垂线定理知BF⊥VD，根据二面角平面角的定义可知∠AFB是面VAD与面VDB所成的二面角的平面角，在Rt△ABF中求出此角即可．

解答：证明：（1）由于面VAD是正三角形，设AD的中点为E，
则VE⊥AD，而面VAD⊥底面ABCD，则VE⊥AB．
又面ABCD是正方形，则AB⊥AD，故AB⊥面VAD．
（2）由AB⊥面VAD，则点B在平面VAD内的射影是A，设VD的中点为F，连AF，BF由△VAD是正△，则AF⊥VD，由三垂线定理知BF⊥VD，故∠AFB是面VAD与面VDB所成的二面角的平面角．
设正方形ABCD的边长为a，
则在Rt△ABF中，AB=a，AF=

3

2

a，tan∠AFB=

AB

AF

=

a

3 2 a

=

2 3

3

故面VAD与面VDB所成的二面角的大小为arctan

2 3

3

．

点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及二面角及其度量，对于二面角的度量在高考中有所弱化，属于基础题．