题目内容
（2010•唐山三模）如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是边长为2
的菱形，∠BAD=60°，侧面VAD⊥底面ABCD，VA=VD，E为AD的中点．
（Ⅰ）求证：平面VBE⊥平面VBC；
（Ⅱ）当直线VB与平面ABCD所成的角为30°时，求面VBE与面VCD所成锐二面角的大小．
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（Ⅰ）求证：平面VBE⊥平面VBC；
（Ⅱ）当直线VB与平面ABCD所成的角为30°时，求面VBE与面VCD所成锐二面角的大小．
分析：（Ⅰ）连接BD．证明AD⊥VE，AD⊥BE，通过VE∩BE=E，推出AD⊥平面VBE．利用BC∥AD，BC⊥平面VBE，然后证明平面VBE⊥平面VBC；
（Ⅱ）分别以EB、ED、EV为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出C，D，V的坐标，利用
•
=
•
=0，推出平面VCD的法向量
=(x，y，z)，求出平面VBE的法向量
=（0，1，0），利用cos＜
，
＞=
，求面VBE与面VCD所成锐二面角的大小．
（Ⅱ）分别以EB、ED、EV为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出C，D，V的坐标，利用
| m |
| DV |
| m |
| DC |
| m |
| n |
| m |
| n |
| ||||
|
|
解答：
解：（Ⅰ）证明：连接BD．
由已知，侧面VAD和△ABD，VA=VD，是以AD为公共底边的等腰三角形，
E为AD的中点，∴AD⊥VE，AD⊥BE，
又VE∩BE=E，∴AD⊥平面VBE．
∵BC∥AD，∴BC⊥平面VBE，
又BC?平面VBC，
∴平面VBE⊥平面VBC．
（Ⅱ）∵侧面VAD⊥底面ABCD，∴VE⊥底面ABCD，
当直线VB与平面ABCD所成的角为30°，即∠VBE=30°，
由已知，BE=3，BC=2
，DE=
，VE=BEtan30°=
．
分别以EB、ED、EV为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则C（3，2
，0），D（0，
，0），V（0，0，
）．
设
=(x，y，z)为平面VCD的法向量，则
•
=
•
=0，
∵
=(3，
，0)，
=(0，-
，
)，
∴
，取
=(-1，
，
)，
又
=（0，1，0）为平面VBE的法向量，
cos＜
，
＞=
=
=
=
．
所以面VBE与面VCD所成锐二面角的大小为arccos
．
解：（Ⅰ）证明：连接BD．由已知，侧面VAD和△ABD，VA=VD，是以AD为公共底边的等腰三角形，
E为AD的中点，∴AD⊥VE，AD⊥BE，
又VE∩BE=E，∴AD⊥平面VBE．
∵BC∥AD，∴BC⊥平面VBE，
又BC?平面VBC，
∴平面VBE⊥平面VBC．
（Ⅱ）∵侧面VAD⊥底面ABCD，∴VE⊥底面ABCD，
当直线VB与平面ABCD所成的角为30°，即∠VBE=30°，
由已知，BE=3，BC=2
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| 3 |
| 3 |
分别以EB、ED、EV为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则C（3，2
| 3 |
| 3 |
| 3 |
设
| m |
| m |
| DC |
| m |
| DV |
∵
| DC |
| 3 |
| DV |
| 3 |
| 3 |
∴
|
| m |
| 3 |
| 3 |
又
| n |
cos＜
| m |
| n |
| ||||
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| ||||||
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| ||
|
| ||
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所以面VBE与面VCD所成锐二面角的大小为arccos
| ||
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点评：本题是中档题，考查平面与平面垂直的证明方法，平面与所成二面角的大小的向量求法，考查计算能力，转化思想，常考题型．
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