Question

在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD．
（Ⅰ）如果P为线段VC的中点，求证：VA∥平面PBD；
（Ⅱ）如果正方形ABCD的边长为2，求三棱锥A-VBD的体积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）连结AC与BD交于点O，连结OP，可得OP是△VAC的中位线，再根据线和平面平行的判定定理证得 VA∥平面PBD．
（Ⅱ）在平的面VAD内，过点V作VH⊥AD，则VH⊥面ABCD，再由VA-VBD=VV-ABD=

1

3

S△ABD•VH，运算求得结果．

解答：解：（Ⅰ）连结AC与BD交于点O，连结OP，
因为ABCD是正方形，所以OA=OC，又因为PV=PC
所以OP∥VA，又因为PO?面PBD，所以VA∥平面PBD．--------（6分）
（Ⅱ）在平的面VAD内，过点V作VH⊥AD，因为平面VAD⊥底面ABCD，所以VH⊥面ABCD．
所以VA-VBD=VV-ABD=

1

3

S△ABD•VH=

1

3

×

1

2

×22×

3

2

×2=

2 3

3

．------（12分）

点评：本题主要考查直线和平面平行的判定定理的应用，用等体积法求棱锥的体积，属于中档题．