Question

【题目】如图，菱形ABCD中，，，O为线段CD的中点，将沿BO折到 的位置，使得，E为的中点．

（1）求证:;

（2）求直线AE与平面所成角的正弦值

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】

（1）根据ABCD为菱形， ，得到为等边三角形，由O为线段CD的中点，得到，再由，得到，从而平面BOD，得到，又，从而平面即可得证.

（2）由（1）知两两垂直，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量和的坐标，代入公式求解.

（1）因为ABCD为菱形， ，

所以为等边三角形，

又O为线段CD的中点，

所以，即折叠后有，

因为，所以，而，

所以，

所以，

所以平面BOD，又平面BOD,

所以，又，

所以，，

所以平面，

所以.

（2）由（1）知两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系：

则

，

设平面的一个法向量为，

则，所以，

令，得，

又因为，

所以，

所以直线AE与平面所成角的正弦值.