Question

【题目】如图，在三棱锥S﹣ABC中，SA⊥底面ABC，AC＝AB＝SA＝2，AC⊥AB，D、E分别是AC、BC的中点，F在SE上，且SF＝2FE.

（1）求证：平面SBC⊥平面SAE

（2）若G为DE中点，求二面角G﹣AF﹣E的大小.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）利用底面证得，由等腰三角形的性质证得，由此证得平面，进而证得平面平面.

（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，通过平面和平面的法向量，计算出二面角的余弦值，进而求得二面角的大小.

（1）∵SA⊥底面ABC，∴SA⊥BC，

又∵AC＝AB，且点E是BC的中点，

∴BC⊥AE，

∵SA∩AE＝A，∴BC⊥底面SAE，

∵BC平面SBC，

∴平面SBC⊥平面SAE．

（2）以A点为坐标原点，分别以AC，AB，AS为x，y，z轴建立空间坐标系O﹣xyz，

则A（0，0，0），S（0，0，2），E（1，1，0），G（1，，0），C（2，0，0），B（0，2，0），

由SF＝2FE得F（，，），

∴＝（1，1，0），＝（，），＝（1，，0），＝（2，﹣2，0）.

设平面AFG的法向量为＝（x，y，z），则，

令y＝2，得到x＝﹣1，z＝﹣1，

即＝（﹣1，2，﹣1），

设平面AFE的法向量为，

由（1）知为平面AES的一个法向量，＝＝（2，﹣2，0），

∴cosα＝＝＝，

∵二面角G﹣AF﹣E的平面角为锐角，

∴二面角G﹣AF﹣E的大小为.