Question

【题目】已知椭圆经过点，且离心率为，过其右焦点F的直线交椭圆C于M，N两点，交y轴于E点．若，．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）试判断是否是定值．若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）为定值，为．

【解析】

（Ⅰ）根据题意列方程组，解得，，则可得到椭圆的标准方程；

（Ⅱ）直线的方程为，联立消去y可得．设，，根据韦达定理和已知条件，可得，，再相加根据韦达定理，变形可得定值.

（1）设椭圆的半焦距为，由题意可得，

解得，，．

所以椭圆的标准方程为．

（Ⅱ）为定值．

由题意可知，直线的斜率存在，设直线的斜率为k，

因为直线过点，所以直线的方程为．

令，可得，即．

联立消去y可得．

设，，易知，，则，．

，，，．

由，，可得，

所以．

将，代入上式，化简可得