Question

8．已知在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且$tanB=\frac{{\sqrt{3}ac}}{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}$．
（1）求∠B；
（2）求函数$f（x）=sinx+2sinBcosx，x∈[0，\frac{π}{2}]$的值域及单调递减区间．

Answer 1

分析 （1）已知等式右边变形后，利用余弦定理化简，整理求出sinB的值，根据B为锐角，求出B的度数；
（2）把sinB的值代入f（x）解析式，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据x的范围求出值域，利用正弦函数的单调性求出f（x）的递减区间即可．

解答 解：（1）∵cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$，即$\frac{ac}{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}$=$\frac{1}{2cosB}$，
代入已知等式得：tanB=$\frac{\sqrt{3}ac}{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}$，即$\frac{sinB}{cosB}$=$\frac{\sqrt{3}}{2cosB}$，
∴sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵△ABC是锐角三角形，
∴B=$\frac{π}{3}$；
（2）把sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$代入得：f（x）=sinx+2sinBcosx=sinx+$\sqrt{3}$cosx=2sin（x+$\frac{π}{3}$），
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴$\frac{1}{2}$≤sin（x+$\frac{π}{3}$）≤1，即1≤2sin（x+$\frac{π}{3}$）≤2，
∴f（x）的值域为[1，2]，
∵$\frac{π}{2}$+2kπ≤x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，k∈Z，
∴$\frac{π}{6}$+2kπ≤x≤$\frac{7π}{6}$+2kπ，k∈Z，
当k=0时，$\frac{π}{6}$≤x≤$\frac{7π}{6}$，
又0≤x≤$\frac{π}{2}$，
∴f（x）在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上的单调减区间为[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]．

点评 此题考查了余弦定理，两角和与差的正弦函数，正弦函数的定义域与值域，正弦函数的单调性，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．