Question

18．已知f（x）=$\sqrt{3}$sinωx+cosωx（ω＞0），x∈R，在曲线y=f（x）与直线y=1的交点中，若相邻交点距离的最小值为$\frac{π}{3}$，则f（x）的最小正周期为π．

Answer 1

分析 利用和差公式可得：函数f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$），令2sin（ωx+$\frac{π}{6}$）=1，化为sin（ωx+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，解得ωx+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{6}$或ωx+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈Z．由于在曲线y=f（x）与直线y=1的交点中，相邻交点距离的最小值是$\frac{π}{3}$，可得x₂-x₁=$\frac{2π}{3ω}$=$\frac{π}{3}$，即可得出．

解答 解：函数f（x）=$\sqrt{3}$sinωx+cosωx=2（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinωx+$\frac{1}{2}$cosωx）=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$），
令2sin（ωx+$\frac{π}{6}$）=1，
化为sin（ωx+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
解得ωx+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{6}$或ωx+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈Z．
∵在曲线y=f（x）与直线y=1的交点中，相邻交点距离的最小值是$\frac{π}{3}$，
∴$\frac{5π}{6}$-$\frac{π}{6}$+2kπ=ω（x₂-x₁），令k=0，
∴x₂-x₁=$\frac{2π}{3ω}$=$\frac{π}{3}$，
解得ω=2．
∴T=$\frac{2π}{2}$=π．
故答案为：π．

点评 本题考查了和差公式、三角函数的图象与性质、三角函数的方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．