Question

已知函数f（x）=|x-1|+|x-a|．
（I）若a=-1，解不等式f（x）≥3；
（II）如果?x∈R，f（x）≥2，求a的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）求出a=-1的f（x），对x讨论，当x≤-1时，当-1＜x＜1时，当x≥1时，去掉绝对值，解不等式，最后求并集即可；
（II）运用绝对值不等式的性质，可得f（x）的最小值为|a-1|，由不等式恒成立的思想可得|a-1|≥2，解得a即可．

解答： 解：（Ⅰ）当a=-1时，f（x）=|x+1|+|x-1|，
由f（x）≥3即|x+1|+|x-1|≥3
当x≤-1时，不等式可化为-x-1+1-x≥3，解得x≤-

3

2

；
当-1＜x＜1时，不等式化为x+1+1-x≥3，不可能成立，即x∈∅；
当x≥1时，不等式化为x+1+x-1≥3，解得x≥

3

2

．
综上所述，f（x）≥3的解集为（-∞，-

3

2

]∪[

3

2

，+∞）；                      
（Ⅱ）由于|x-1|+|x-a|≥|（x-1）-（x-a）|=|a-1|，
则f（x）的最小值为|a-1|．
要使?x∈R，f（x）≥2成立，
则|a-1|≥2，解得a≥3或a≤-1，
即a的取值范围是（-∞，-1]∪[3，+∞）．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查不等式恒成立问题转化为求函数的最值，运用分类讨论和绝对值不等式的性质，是解题的关键．