Question

已知△ABC的三个顶点在以O为球心的球面上，且cosA=

2 2

3

，BC=1，AC=3，三棱锥O-ABC的体积为

14

6

，则球O的表面积为

 

．

Answer 1

考点：球内接多面体,球的体积和表面积

专题：球

分析：通过A的余弦函数求出正弦函数值，求出B的大小，利用三棱锥O-ABC的体积为

14

6

，求出O到底面的距离，求出球的半径，然后求出球的表面积．

解答： 解：△ABC的三个顶点在以O为球心的球面上，且cosA=

2 2

3

，BC=1，AC=3，
∴sinA=

1-cos2A

=

1

3

，
由正弦定理可知：

BC

sinA

=

AC

sinB

，
∴sinB=1，B=90°．斜边AC的中点就是△ABC的外接圆的圆心，
∵三棱锥O-ABC的体积为

14

6

，
又AB=

AC2-BC2

=2

2

，
∴

1

3

×

1

2

•AB•BC•h=

14

6

，
∴h=

7

2

，
∴R=

( 7 2 )2+( 3 2 )2

=2，
球O的表面积为4πR²=16π．
故答案为：16π．

点评：本题考查球的表面积的求法，球的内含体与三棱锥的关系，考查空间想象能力以及计算能力．