Question

16．某市在2015届青少年科技创新大赛中评出一等奖作品9个，其中社会科学类3个，自然科学类6个，这9个一等奖中，市-中夺得3个，市五中夺得2个，其余4个被四所不同的农村中学夺得．现从这9个一等奖作品中随机选取4个参加省级青少年科技创新大赛（每个作品披选到的可能性相同）
（I）求选出的4个作品来自互不相同的学校的概率；
（2）设选出的4个作品中，自然科学类的有x个．社会科学类的有y个，若X=x-y，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）先求出基本事件总数n=${C}_{9}^{4}$=126，再求出选出的4个作品来自互不相同的学校，包含的基本事件个数，由此能求出选出的4个作品来自互不相同的学校的概率．
（2）设选出的4个作品中，自然科学类的有x个．社会科学类的有y个，X=x-y，则X的中能取值为-2，0，2，4，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（1）现从这9个一等奖作品中随机选取4个参加省级青少年科技创新大赛（每个作品披选到的可能性相同），
基本事件总数n=${C}_{9}^{4}$=126，
选出的4个作品来自互不相同的学校，包含的基本事件个数：${C}_{3}^{1}{C}_{2}^{1}{C}_{4}^{2}$=36，
∴选出的4个作品来自互不相同的学校的概率p=$\frac{m}{n}$=$\frac{36}{126}$=$\frac{2}{7}$．
（2）设选出的4个作品中，自然科学类的有x个．社会科学类的有y个，X=x-y，
则X的中能取值为-2，0，2，4，
P（X=-2）=$\frac{{C}_{3}^{3}{C}_{6}^{1}}{{C}_{9}^{4}}$=$\frac{6}{126}$，
P（X=0）=$\frac{{C}_{3}^{2}{C}_{6}^{2}}{{C}_{9}^{4}}$=$\frac{3×15}{126}$=$\frac{45}{126}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{6}^{3}}{{C}_{9}^{4}}$=$\frac{3×20}{126}$=$\frac{60}{126}$，
P（X=4）=$\frac{{C}_{6}^{4}}{{C}_{9}^{4}}$=$\frac{15}{126}$，
∴X的分布列为：

X	-2	0	2	4
P	$\frac{6}{126}$	$\frac{45}{126}$	$\frac{60}{126}$	$\frac{15}{126}$

EX=$-2×\frac{6}{126}+0×\frac{45}{126}+2×\frac{60}{126}+4×\frac{15}{126}$=$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．